例题 04-10-02-03 在半径为的均匀带电的半圆弧形塑料细杆上，均匀地分布着正电荷 ，求它对位于圆心O处的点电荷()的作用力。

分析 分布在长度为 的半圆弧形细杆上的电荷，显然不能视作点电荷。为此，我们可将细杆分成许多线元(即微小线段)，使得每一线元上所带电荷(称为电荷元)可视作点电荷。这样就可用库仑定律先求电荷元对点电荷的作用力，然后再根据静电力叠加原理，求所有这些力的矢量和，便可得出整个细杆上的电荷对点电荷所作用的合力

解 如图所示，取以圆心O为原点的坐标系，在与轴成角处沿细杆取一圆弧形线元，为对应于的中心角。由题设可知，细杆均匀带电，故半圆周上每单位长度所带的电荷(称为线电荷密度，其单位是)是相同的，因此，它的值为，因而，线元上所带电荷为，按库仑定律，电荷元对点电荷作用的静电力大小为


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(a)


因与皆为正电荷，即，则静电力的方向沿两者连线，为斥力(见图)，表示为矢量式，即

　　　　　　　　　(b)

式中，、分别为x和y轴正向的单位矢量，、分别为沿x、y轴方向的分量。将式(a)代入式(b)，并化简，然后，按静电力叠加原理，求所有电荷元对点电荷作用力的矢量和，即对式(b)进行矢量积分，便可求得电荷对点电荷所作用的静电力的合力，即(注：对矢量求积分时，可在所取直角坐标系中，先将矢量写成正交分解式，考虑到其中的单位矢量、 都是恒矢量，积分时，可以把它们提到积分号外面，因而，只须分别对两个分量求标量积分。这样， 便把矢量积分归结为求标量的积分了。)

　　　　　　　　

　　　　　　　　　

　　　　　　　　　

　　　　　　　　　


负号表示合力的方向沿y轴负向，合力的大小为