例题 04-10-11-03　一半径为的均匀带电球面，电荷为，求球外、球面及球内各点的电势。

分析 不用细说，读者可以根据高斯定理很容易求出均匀带电球面内、外的场强：，。因此在本例已知场强分布的情况下，可以直接利用电势的定义式 (10a) 求解。即一点的电势等于将单位正电荷从该点移到无限远处电场力所作的功。同时考虑到均匀带电球面的对称关系，场强方向沿径向；又因为电场力作功与路径无关，于是为了计算方便起见，可以选择这样的路径：把单位正电荷从该点沿径向移到无限远，这样将使场强与位移 的方向处处一致，即。

解 任取球面内一点Q，设与球心距离为，其电势为

　　　　

　　　　　　

同理，球面上一点的电势为

　　　　　　　　　　　　

可见，在球面内和球面上各点的电势均相等(皆等于恒量)。
任取球面外一点(设与球心相距)，其电势同样可求出：

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把上式与点电荷的电势公式(11e) 相比较，上式表明，表面均匀带电的球面在球外一点的电势，等同于球面上的电荷全部集中在球心的点电荷所激发的电场中该点的电势。