例题 04-10-05-03 均匀带电细棒的电场 一长为的均匀带电细棒，线电荷密度为，设场点与细棒相距为，且与棒两端的连线分别和棒成夹角、，求点的场强。

分析 为了求点的场强，首先把沿细棒连续分布的场源电荷分割成无限多个电荷元，求出每一电荷元在点的场强，然后根据电场强度叠加原理，用积分法，求点的总场强。

解：今取点到细棒的垂足为原点，在棒上离原点为处取长度的线元。由题设，电荷沿细棒均匀分布，线电荷密度为，因此上所带的电荷为 。
设到点的距离为，则电荷元在点的场强的大小为

　　　　　　　　　　　　　　

的方向如上图所示。由于是矢量，具体计算时可先求其分量。为此，在和细棒所构成的平面上，以为原点，选取图所示的坐标系，于是得沿、轴的分量为
　　　　　　　　　,
式中，为与轴正向的夹角。由图可知，
　　　　　　　　　　　　

求微分得　　　　　　　　　　　

又　　　　　　　　　　

所以，由以上各式，得

　　　　　　

　　　　　　


分别对上两式积分，即得带电细棒在点的场强的两个分量

　　

　　

由此得场强的矢量表示式为

　　　(a)
　
式中、 分别为和轴上的单位矢量。的大小和方向可由上述两个分量、确定，即
　　　　　　　　　，
式中，用与轴正向的夹角表示场强的方向。

讨论 (1) 若点位于细棒的中垂面上，则垂足即为细棒的中点，为中垂线。这时，，且，因而上述两分量式成

　　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　　　　

这是因为细棒对称于中垂线，棒上对称于中垂线的每一对等量的电荷元(例如，线元和’在中垂线上任一点的场强和’，也对中垂线对称，以致垂直于的每一对分量、成对地互相抵消，因而总场强沿轴的分量；同时，它们沿的每一对分量、，方向相同，都沿轴正向，因而互相叠加，其和即为上式中的。故中垂线上一点P的总场强为，即


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(b)　　

的方向沿轴正向(因这里；如，则沿轴负向)。
　　从式(b)可知，凡位于中垂面内的所有中垂线上、且与带正电细棒相距为的场点(它们都在以细棒与中垂面的交点为中心、以为半径的圆上)，其场强的大小均相同，方向都沿相应的中垂线而背离细棒。亦即，在有限长的均匀带电细棒的中垂面上，场强分布呈辐射状。但对中垂面以外的场点则并非如此，其场强应按式(a)确定。

(2) 若均匀带电细棒为无限长,(实际的物体都是有限大小的，无限长细棒不过是一种数学上的抽象。设一长为 的细棒，在其中部的邻近区域中的任一点，与细棒相距为，若，则从点来看细棒的两端宛如没有尽头，就可以认为细棒两端都延伸到无限远处。在本篇中，以后我们经常遇到"无限大平面"、"无限长的直导线"、"无限长螺线管"等术语，它们都是在类似于上述的相对意义上抽象出来的。
按照上述理解，对那些离有限长带电细棒很近、而又不在棒的两端附近的场点而言，这些点的场强就可以近似地用下面的式(c)来求。也就是说，以后我们提到无限长带电棒(或无限大带电平面)的电场时，读者应理解这电场是局限在带电体中部附近的区域内的。)
　　在前面第一张图中，　　于是，从前面的两个分量式可得

　　　　　　　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　　　

场强的矢量表示式为，即

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(c)　　　　　　

在细棒为无限长的情况下，棒上任一点都可当作中点，任何垂直于细棒的平面都可看成是中垂面，而对于带电细棒中垂面上的场强分布，已在上面分析过了。这样，对无限长均匀带电细棒来说，在垂直于它的任一平面上，其场强分布情况都是相同的，亦即都和上一张图所示的情况一样。我们说，具有这种特点的电场是轴对称的。