2.单摆的混沌吸引子

MIT的气象学家洛伦兹(E.Lorenz)在1963年发现了奇怪吸引子。

洛伦兹在研究大气对流对天气的影响时，提出了洛伦兹方程：

（9）

现在这个方程已成为混沌理论的经典方程。对此非线性方程求数值解，洛伦兹得到了一个三维吸引子，其二维投影如图10所示。总体上由两个套环组成，看上去像一对蝴蝶翅膀。实际上每一环套都有靠得很近的无穷多层，每层上都细密地排列看无穷多个回线，代表系统相点在这边转几圈后又到那边转几圈，完全无法预测什么时候从这一边过渡到另一边。

刻划混沌吸引子的主要手段为分形维数和李雅普诺夫指数。

分形概念的实质就是标度变换下的自相似性。图11即为单摆的混沌吸引子。由图中可以看出单摆混沌吸引子的分形结构，即自相似结构。

李雅普诺夫指数描述混沌吸引子的初值敏感性，单摆的李雅普诺夫指数计算证明，在计算的误差范围内，单摆具有混沌吸引子，是初值敏感的。
图10
图11