单摆是在悬挂的细线的另一端连接着一个小球（如图1所示）。单摆又称数学摆，是物理学中最简单的模型之一。 

图1

可以认为，细线的质量可以忽略，且是刚性的。系统质量集中在可视为质点的小球上。设摆长为l，小球质量为m，相对于平衡的下垂位置的角度为θ，重力加速度为g。则其运动方程为

式中r为阻力系数，为周期性驱动力的角频率。引入无量纲阻尼固数，无量纲驱动力 及 ，（固有角频率）无量纲时角 ，（习惯上还记作t）可以得到

 (1)

1.无阻尼无驱动情形

无阻尼即是；无驱动意为，此时(1)式化为

 (2)

(1)小振幅情况

在小振幅情况。即 ，这时有 ,故(2)式化为

 (3)

恰当选择时间起点，可解得：

 (4)
(5)

注意：这里频率等于1,意味着单摆频率等于（即频率用 来约化的）

消去（4），（5）式中的 t 得

 (6)

图称为相图（“相”的意思是运动状态,即速度和位置，故 曲线称相图）。由式(6)知，相应相图中轨迹是半径为A的圆（如图2所示）。

  

      图2

(2) 任意大振幅

当任意大振幅时， 不能近似为 ，不能得到(3)式，从机械能守恒定律有 ，无量纲化后得，于是

 (7)

由式(7)可得不同能量H的相图如下图所示。

图中中心O对应于单摆下垂的平衡位置，其能量最低点是稳定的不动点。
   H < 2时，相轨道闭合，H越小，相轨道越接近圆。（与（1）中线性理论一致，随H增大，相轨道越扁，且两端突出渐成凸状。）
    H > 2时，轨道不再闭合，对应于单摆沿正向或反向的旋转，不再作往返摆动。
   H = 2时，相轨道线上出现按点 相当于单摆垂直倒立位置，是不稳不动点。鞍点 称异宿点，连接异宿点的轨线叫分界线，它把单摆旋转和摆动两种不同类型轨线分开。从一异宿点到另一异宿点的轨线亦称轨线。