3.有阻尼有驱动情形

当驱动力为无周期驱动力时,系统的相轨道不相交,相空间是二维的。

系统为周期性驱动力时,相空间仍是二维的,但相轨道可以相交。

在任意大振幅下受驱动阻尼摆的运动十分复杂,其运动方程为前面的方程(1)

 (1)
图5

用解析方法求解是不可能的,只能求数值解。对解的研究发现,系统最初有一暂态过程,最后将收缩到一个简单得多的终态集上。因此我们将把注意力集中在终态集上。

下面我们取β=1/4，Ω=2/3，讨论不同 f 值时的终态。

f = 1.025（ f 以摆锤重量 mg 为单位），从图5所示相图可以看出，出现两个终态，各自分享着相平面上一定的初态，两个终态都对应周而复始的周期解。两个终态表现为左右不对称。

f 增至1.07时，相图的新特征是出现了二倍周期（如图6），即在驱动力的两个周期内运动才恢复原状，如此周而复始地运动下去。

f 增至1.15时,情况更加复杂，相点并不以连续的概率分布在相平面上随机地行走，留下的足迹具有某种内在结构（如图7所示）。

图6

  

图7

f增至1.35和1.45时，运动又恢复较简单形式：1倍和2倍周期解，只不过由前面的往复摆动变为单向旋转。f 为1.47时出现4倍周期的旋转运动。f为1.50时又出现似乎无规的复杂运动。

为了观察上述复杂变化，庞加莱发明了另一种更简化的描绘方法——庞加莱截面法，按（1）式增加一个变量，把相空间扩大到三维，在方向每隔取一个截面，这个截面就叫庞加莱截面。 若运动是简单周期的，则相轨道第次都从同一处穿过庞加莱截面，即在截面上只有一个不动点。 运动若是2倍周期的，则在截面上是两个不动点，依此类推， 当运动无周期性时，截面上将有无穷多个点。 前述f的不同取值（即图6,图7）对应的庞加莱截面如图8所示。

图8 单摆的庞加莱截面