例题01-02-03-05如图，一长为 的绳子， 其质量不计，一端固定于点，另一端拴一质量为 的小球。试求：小球绕点在铅直平面上旋转时，沿圆周轨道上任一点P处的速度和绳子所受的拉力。已知小球在最低点时的速度为 。
解：以小球在最低点时作为计时零点，即 ，并用角坐标 表示该点的位置。当小球运动到轨道上任一点 时，相应的角坐标为，速度为 。这时，小球受重力和绳子的拉力作用，各力的方向如图所示。按牛顿第二定律，小球的运动方程为
式中， 为小球的加速度。考虑到小球在铅直平面内作圆周运动，沿圆周上点的切向和法向列出式（1）的分量式，较易求解。并规定：以小球在点的运动方向作为切线 t的正方向，以指向圆心的方向作为法线 的正方向。则式（1） 的切向分量式和法向分量式分别为
小球的角速度可写作，线速度为 。于是，借微分的链导法，可将式（2）右端的 改写为
把它代入式（2），就成为
已知 时，，则小球在角坐标为 的点处，其速度 便可由积分求出，即
由此可解得
可见，小球的速度随角坐标 而改变，即小球在铅直平面内作变速圆周运动。将式（5）代入式（3），得绳子对小球的拉力为
按牛顿第三定律，小球对绳子的拉力与绳子对小球的拉力互为作用与反作用力，两者等值、反向、共线。故沿法线方向背离圆心，且，即绳子所受拉力的大小亦为
上式表明，绳子所受的拉力 亦随小球在轨道上的位置（角坐标）而变。例如，当小球在最低点时，，由式（7）可知，绳子所受拉力为最大，这也是小球作圆周运动时绳子至少应承受的拉力，即
又如，当小球在最高点时，绳子所受拉力为
说明 讨论
01-02-01-01 01-02-01-02 01-02-02-01 01-02-03-01 01-02-03-02 01-02-03-03 01-02-03-04 01-02-03-05 01-02-03-06 01-02-03-07 01-02-03-08 01-02-03-09 01-02-03-10 01-02-03-11 01-02-04-01
的绳子， 其质量不计，一端固定于
点，另一端拴一质量为
的小球。试求：小球绕
点在铅直平面上旋转时，沿圆周轨道上任一点P处的速度和绳子所受的拉力。已知小球在最低点时的速度为
。
，并用角坐标
表示该点的位置。当小球运动到轨道上任一点
时，相应的角坐标为
，速度为
。这时，小球受重力
和绳子的拉力
作用，各力的方向如图所示。按牛顿第二定律，小球的运动方程为
为小球的加速度。考虑到小球在铅直平面内作圆周运动，沿圆周上
的方向作为法线
的正方向。则式（1） 的切向分量式和法向分量式分别为 
，线速度为
。于是，借微分的链导法，可将式（2）右端的
改写为
时，
，则小球在角坐标为
的
点处，其速度
与绳子对小球的拉力
互为作用与反作用力，两者等值、反向、共线。故
，且
，即绳子所受拉力的大小亦为
）而变。例如，当小球在最低点时，
