保守力 系统的势能

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01-03-04
保守力 系统的势能


　　在诸多的作用力作功之情况中，有一种力作功具有特殊意义，即它作功与路径无关，取决于物体的始末位置，这种力称为保守力，由保守力作功的特点引出了势能的概念。

 　　下面我们从讨论重力和弹性力所作的功及其特征出发，分别引述重力势能和弹性势能这两种力学中常见的势能。
　　设物体在重力作用下，从位置a沿一曲线路径acb运动到位置b(图1)，在地面附近，重力W＝mg以可视作不变，而始、末位置a点和b点可分别用相对于地面的高度和表示。这样，在全部路程中，重力W所作的功为


图1
　　　　
　　（1）
从这结果可以看出，重力所作的功与物体所经过的路径无关，只与物体的始、末位置有关。如果物体沿图1中任一闭合路径adbca绕行一周，重力所做的功必为零。(重力沿任意路径对物体作的功点击可看)
　　如图2所示的弹簧振子，以弹簧的平衡位置O为原点，取x轴正向向右，相应的单位矢量为i，则将弹簧向右拉x（x＞0）时，物体受弹簧一向左的弹性力（内力），即。当物体从初位置（即a点）运动到末位
置（即b点） 的过程中，弹性力对物体所作的功可计算出

图2
　
　 　　　　　　　　　　　　　（2）
而当物体从位置返回到位置的过程中，弹性力对物体所作的功可计算出
　　　　　　　　　　　　
可见，弹性力所作的功只和始、末位置、有关，而与物体移动的具体路径无关。当物体自a出发，使弹簧伸长到b再回缩到a，则在整个闭合路径中弹性力所作的功为零，即
这一特点与重力作功的特点是相同的。
　　(1)保守力
　　凡其作功与路径无关，仅与始、末位置有关的力称为保守力。系统中相互作用的重力和弹性力，万有引力（其实重力就是一种万有引力）、分子间相互作用的分子力、静电力等都属于保守力。由于保守力作功与路径无关特点与保守力F沿任意闭合路径l所作的功为零的特点是一致的，可用数学式表示为
　　　　
　　　　　　　　　　　　　（3）
　　(2) 非保守力
　　凡作功与路径有关的力称为非保守力。常见的摩擦力，物体间相互作非弹性碰撞时的冲击力都属于非保守力。非保守力F具有沿任意闭合路径l作功不等于零的特点，即
　　　
　　　　　　　　　　　　　（4）

图3
　　(1) 重力势能
　　位于高度h处、质量为m的物体与地球所组成的系统拥有的重力势能定义为
它表示物体受重力作用位于高度h处具有的作功本领（能量）。利用势能定义，重力作功表达式可写为
A=
即：重力所作的功等于系统在始、末位置状态时重力势能之差。
　　（2）弹性势能：
　　弹簧在伸长（或压缩）量为x时，弹性系统所具有的弹性势能定义为
它表示弹性系统在弹簧伸长（或压缩）量为x时，拥有大小为的作功本领。利用弹性势能定义，弹性力作功表达式可写为
A=
即弹性力所作的功等于弹性系统在始、末位置状态时的弹性势能之差。
　　注解：
　　（1）重力势能和弹性势的引入是因为重力和弹性力都属于保守力。一般地说，只要系统内物体间存在着相互作用的某种保守力，则系统相应地必然拥有只取决于系统位置状态（即系统内物体间的相对位置）的一种势能，而且这种保守力所作的功等于相应势能增量的负值，即
上式是势能的一般定义，其中、为系统末、始状态时的势能。它表明系统势能的变化可用保守性内力所作的功来量度。
　　（2）势能也是一个标量，势能的单位与功的单位相同。
　　（3）客观上并不存在某—位置的绝对势能，某一位置的势能是相对于一个基准位置来说的。通常可把基准位置的势能人为地规定为零，即势能零点。则某一位置的势能在数值上等于保守力从该位置到势能零点所作的功。即
也就是说，势能只有相对意义。一般选定地面作为重力势能零点，对于弹簧，选在弹簧处于原长（其伸长或压缩量x＝0）时的平衡位置作为弹性势能零点。
　　（4）势能是属于参与保守力相互作用的物体所组成的系统的，而不是属于其中个别物体的。例如，重力势能是属于地球与受重力作用的物体所组成的系统。对弹簧的弹性势能来说也是如此，它是属于物体与弹簧所组成的弹性系统。但为了叙述方便，把系统等字省去，常常说成物体的势能。
　　（5）由于非保守力所作的功将随所经的路径不同而异，即其值是不确定的，所以不能引入与其相关的势能。