设质点按运动规律沿曲线轨道C 运动，某时刻t位于P点，其位矢为

    在时刻，质点运动到Q点，其位矢为

则在所述的时间内，质点的位移为

位移与所需时间之比，就是质点在时刻t 到时刻内的平均速度，即   

    　　为了细致地描述质点在某一时刻（或相应的某一位置）的运动情况，应使所取的时间尽量缩短并趋向于零。与此同时， 的大小也逐渐缩短而趋近于零。位移 的方向以及平均速度 的方向也相应地改变方向，并逐渐趋向于P点的切线方向。

    　　于是，质点在某一时刻t（或相应位置P）的运动情况，便可用 时的平均速度 所取的极限（包括大小和方向的极限）—瞬时速度 来描述。 即

　　这一极限就是位矢 （矢量）对时间（标量）的导数，称为矢量导数。它就是质点运动时，在某时刻（或某位置）的瞬时速度（简称速度）。

    　　速率是描述质点运动快慢的物理量，而不涉及质点的运动方向，因而它是标量。

　　（1） 平均速率
　　质点在 时间内所通过的路程为曲线PQ的弧长 ，则与的比值就叫做在时间内质点的平均速率，即

    （2） 瞬时速率（速率）
　　当 时，位移的大小将等于路程，即

    　　根据速度的定义，可得速度大小为

　　又因，在时，平均速率的极限，即为t时刻的瞬时速率（简称速率），即

比较以上两式，有

即瞬时速度的大小等于瞬时速率。

    　　在直角坐标系中，可将速度用分量式表示为

其中

即质点运动的速度矢量在坐标轴上的分量等于相应的位置坐标对时间的一阶导数（标量导数）。所以速度的大小可以用下式计算

速度的方向可用下式计算

式中分别为速度矢量v与x，y，z 轴之间的夹角。