自由粒子一维薛定谔方程：
　　沿x轴方向运动的自由粒子，其物质波的波函数为
　　　　　　　　　　　　　
分别对 x 取二阶偏导和对 t 取一阶偏导，得
　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　
　　因粒子是自由运动，能量E=E_k（动能），根据非相对论的动能和动量的关系，即
　　　　　　　　　　　　　
这样可得自由粒子一维薛定谔方程：

　　求粒子在势能为 的势场中一维薛定谔方程：
　　粒子总能量为
　　　　　　　　　　　　　
两边乘，得
　　　　　　　　　　　　　
得方程：
　　　　　　　　　　　　　

　　将上述方程推广到三维的一般情况：
　　粒子波函数为
　　　　　　　　　　　　　
　　势能为
　　　　　　　　　　　　　
　　可得薛定谔方程为

　　当势能 Ep 与时间无关而只是坐标的函数情况下称为定态问题。这时， ，粒子物质波的波函数为

将上式分别对x,y,z求二阶偏导数和对t求一阶偏导数，化简后得：

称为定态薛定谔方程。通常把振幅函数 称为波函数。
　　对一维定态问题便退化为一维定态薛定谔方程:

波函数 本身及其一阶导数必须是单值、连续和有限的，这称为波函数的标准条件。薛定谔方程是线性、齐次的微分方程，所以满足叠加原理。