频率为、波长为 沿x方向传播的平面简谐波可表示为
　　　　　　　　　　　　　　　　　
也可改写成复数形式
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　微观粒子波动性可用物质波来描述，其波动表达式要求取复数函数形式，记作

对物质波来说，上述y(x,t)既不代表介质质元振动位移，也不代表某个物理量（如电场强度等）大小。为此，我们改用来表示，称为波函数，用它来描述物质波在空间的传播。

　　一维运动的自由粒子：由于其动量和能量恒定，由德布罗意关系式，其物质波是具有恒定频率和波长的单色平面波，波函数为
　　　　　　　　　　　　　　　　　
其中，
　　　　　　　　　　　　　　　　　

称为振幅函数。而　　表征了物质波强度。

对自由粒子运动的三维情况：波函数为

其中，
　　　　　　　　　　　　　　　
为振幅函数。

　　粒子处在力场中受到外力作用，不是自由粒子，粒子的物质波不再是平面简谐波，其波函数较复杂。

　　改进电子衍射实验，控制电子一个一个发射，经一定时间积累，底片上仍出现衍射图象。

　　实验讨论：
　　1.因电子是不可分割的粒子，而实验中控制单个电子通过晶体，说明衍射图象不是由两个电子实物波的干涉引起。
　　2.图象呈现衍射花样，说明电子具有波动性。
　　两者如何统一？1921年6月德国物理学家玻恩（H.Born）提出德布罗意的统计解释，即微观粒子的物质波是一种概率波。可对电子衍射解释。

　　玻恩的物质波波函数的统计解释：
　　设微观粒子的波函数为 ，在给定时刻t，在空间某点（x,y,z）附近找到该粒子的概率密度 与代表该点物质波强度的成正比，即 取比例系数为1，则
　　　　　　　　　　　　　　　　　

于是，在该处的体积为dV 内发现粒子概率为
　　　　　　　　　　　　　　　　　 。
　　波函数的归一化条件为

表示在整个空间内发现粒子的概率为100%。