例题 01-04-03-03
. 如图所示，质量
的子弹水平地穿过摆锤后，速度由
v
减少到
v
/2。已知摆锤的质量为
M
=
0.5kg
，摆长
l
=
0.81m
。若使摆锤恰能在铅直平面内作完全的圆周运动，求子弹速率
v
至少应多大？不计悬线质量和一切摩擦。
解： 在子弹射穿摆锤的过程中，以子弹与摆锤作为一系统，它除了在铅直方向受重力
W
=(
M
+
m
)
g
和摆线的拉力
T
以外，在水平方向不受外力作用，今取水平的
x
轴，则
，故系统沿
x
轴方向的动量守恒，即
(1)
其中，
V
为子弹穿出摆锤时摆锤所获得的速率。继而，摆锤以悬挂点
O
为圆心、摆线长
l
为半径作铅直圆周运动，在摆锤自最低点
L
到达最高点
H
的过程中，取摆锤与地球为系统，它受重力
W
=
M
g
（保守性内力）和摆线拉力
T
（系统的外力）作用，在上述运动过程中，拉力
T
处处垂直于位移，故不作功。从而满足
，
，则系统的机械能守恒，即
式中，
为摆锤在最高点
H
时的速率，且
>
0
；若此时
=
0
，就不可能完成圆周运动。当摆锤在最高点
H
时，受绳子拉力
T
'
和重力
W
=
M
g
作用，其合力充当了向心力的角色。显然，这个合力的瞬时效应是使摆锤在该处产生一个向心加速度
，以维持摆锤通过最高点而能继续循圆周运动。按牛顿第二定律的法向分量式，有
(2)
若此时绳子的拉力为
T
'
=0，则相应的摆锤速率
就是摆锤完成圆周运动的最小速率，即
(3)
对式
(1)(2)(3)
联立求解，并代入已知数据，便可算出子弹速率至少为
01-04-03-01
01-04-03-02
01-04-03-03
的子弹水平地穿过摆锤后，速度由v减少到v/2。已知摆锤的质量为M=0.5kg，摆长l=0.81m。若使摆锤恰能在铅直平面内作完全的圆周运动，求子弹速率v至少应多大？不计悬线质量和一切摩擦。
，故系统沿x轴方向的动量守恒，即
(1)
，
，则系统的机械能守恒，即 
为摆锤在最高点H时的速率，且
，以维持摆锤通过最高点而能继续循圆周运动。按牛顿第二定律的法向分量式，有
(2)
(3)
