在重力场中，温度为
T 的平衡态下，分子的无规则运动促使分子按位置的分布趋向均匀，但由于有外力场作用，分子按位置的分布将随高度增加而减小。因为在空间位置
x、y、z
处 x 到
， y 到
， z 到
区间内各种速度的分子都有，如果要计算体积元
dx
d y d z
中的总分子数 ，则需将(1)式对所有速度进行积分。于是，
式中
为高度 Z
= 0 (
)处的分子数密度。n
为高度 Z
处的分子数密度(Z为从基准平面量起的向上的高度) 说明:(1)气体的温度一定时，重力场中分子数密度随高度(Z)的增加按指数规律减小。从统计意义上来看，气体分子占据能量较低状态的概率比占据能量较高状态的概率要高。请看图F1。
图F1 分子数随高度递减
图F2 分子数密度随高度递减与质量的关系
图F3 分子数密度随高度递减与温度的关系
(2)温度一定，分子质量越大，分子数密度随高度增大而减小得越快，请看图F2。
当分子质量一定时，若气体温度越高，则分子数密度随高度增大而减小得越缓慢，请看图F3。 (3)1908-1910年法国物理学家佩兰（J．B．Perrin）通过沉积实验证实了(2)式所表述的粒子数按高度的分布规律。
他用显微镜观测悬浮在不同高度的悬浮微粒数。实验确定不同高度处( Z
= 0 和 Z 处)悬浮粒子的数密度
和 n ，由(2)式计算出玻耳兹曼常量 k
，并根据
得出阿佛加德罗常数
(1910年，他得到的实验值是
，现代在试验上精确得量值为
)。在物理学发展历史上，这个实验是证明分子真实存在的最有力的证据。
代入积分式
（令 
）
、 
、
区间内的分子数或相对分子数。
称为速度区间或速度间隔
， 
，
区间内的分子数或相对分子数是多少。
，
称为
为一个状态区间。 一般情况下从微观上统计地说明理想气体分子的运动状态和规律，需要指出分子在
状态区间内的分子数或相对分子数，那么它们的规律是什么呢？
（即
）有关，而且与
成正比。
到 
， 
到 
， 
到
区间的总能为
来替代，从这一观点出发，玻耳兹曼计算出，分子在状态区间 
(1)
为 
处的分子数密度 
，则需将(1)式对所有速度进行积分。于是，
，
代入上式，则得气体分子(或粒子)在重力场中的密度公式为
（2）
)处的分子数密度。
得出阿佛加德罗常数 
(1910年，他得到的实验值是 
，现代在试验上精确得量值为 
)。在物理学发展历史上，这个实验是证明分子真实存在的最有力的证据。
和
(3)
为 
